Die FIBONACCI SEQUENZ

Ein weiterer Aufsatz über die heilige Geometrie, der Schöpferin allen Lebens.

Ein Internetartiel von Steven Black

Zur Konstruktion eines Rechtecks in den Proportionen des goldenen Schnittes aus einem Quadrat teilt man dieses vertikal in der Mitte und schlägt mit der Diagonalen desRechtecks als Radius einen Kreisbogen zur Basis-Linie.

image image image imagehttp://www.paranormal.de/paramirr/geo/11.html

Definition der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge (f_0, f_1,\ldots) ist durch das rekursive Bildungsgesetz

 f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\    für n\geq 2

mit den Anfangswerten

f_0=0\    und   f_1=1\

definiert. Das bedeutet in Worten:

  • Für die beiden ersten Zahlen werden die Werte null und eins vorgegeben.
  • Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger.

Daraus ergibt sich die Folge zu

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393, 196.418, 317.811, 514.229, 832.040, 1.346.269, 2.178.309, 3.524.578, 5.702.887, 9.224.465, 14.930.352, …

Oft wird auch f0 = 0 ausgelassen und die Fibonacci-Folge mit f1 = 1 und f2 = 1 beginnend definiert, insbesondere bei der Anwendung auf Situationen, in denen ein Anfangswert Null keinen Sinn hat.http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hauptseite

Die Formel mag einige mehr verwirren, als erklären was zu sagen ist. Ich denke ebenso, das sie nicht wirklich etwas aussagt, denn dies kann man sehr viel einfacher machen. Ich verwende sie lediglich der korrekten und nachprüfbaren Wiedergabe von Informationen wegen.

Nehmen wir als bekanntes Beispiel eine Blume:

Sie wird mit einem Blatt beginnen, dann sieht sie nach, ach so jetzt habe ich eine, dann muss ich noch eine machen. Das bedeutet, dann hat sie schon zwei Blätter. Sie guckt wieder, jetzt sind es zwei, und vorher wars einer- so wird sie jetzt drei weitere Blätter „zaubern“. Wir sehen, sie arbeitet nach einem Muster, nachdem sie das gemachte – mit dem vorhergehenden summiert. Also 2+3= 5, 5+3= 8, 5+8 =13, 8+13 = 21, usw.   Dies nennt man eine Progression, eine sich selbst organisierende  -bis ins unendliche – erweiternde Entwicklung. Es ist eine Signatur, die sich in jedem Leben ausdrückt, sei es Pflanze, Tier oder der Mensch.

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Φ an. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große n:

\lim_{n \to \infty}\frac {f_{n+1}}{f_n} = {\Phi^{n+1}\over\Phi^n} = \Phi \approx 1{,}618\ldots

Diese Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung

\frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1} \qquad \frac{3}{2} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1}} \qquad \frac{5}{3} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}} \qquad \frac{8}{5} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}}}

Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch

\Phi = 1+\cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+\dotsb}}}}

darstellen.

Sie ist eine irrationale Zahl. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist. Das bedeutet, dass sie sich nur schlecht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt. Am besten lässt sich Φ durch Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen.

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen.  http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite

 

 

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen.

Viele Pflanzen weisen in ihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind, wie beispielsweise bei den Samen in Blütenständen. Das ist dann der Fall, wenn der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Samen bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel ist. Hintergrund ist der Umstand, dass die rationalen Zahlen, die den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren, Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen.

Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und sich so die jeweils übereinanderstehenden Blätter maximalen Schatten machen oder maximale ‚Lichtlücken‘ entstehen. Wissenschaftshistorisch ist hierfür das Buch On Growth and Form von D’Arcy Wentworth Thompson(1917) grundlegend.

Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass die Fibonacci-Folge die Ahnenmenge einer weiblichen Honigbiene (Apis mellifera) beschreibt. Das erklärt sich dadurch, dass Bienendrohnen sich aus unbefruchteten Eiern entwickeln, die in ihrem Genom dem Erbgut der Mutter entsprechen. http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite

Leonardo von Pisa, genannt Leonardo Fibonacci -Leonardo der Sohn des Bonifaccio – (filio de Bonifaccio) war ein italienischer Mathematiker am Hof Kaiser Friedrichs des 2: und verfasste um 1202 seine geometrischen und Zahlentheoretischen Schriften. Er erkannte so den Gesetzmäßigen Ablauf pflanzlichen Wuchsverhaltens, und stellte fest, das sein Konzept auf alle Formen Biologischer Organismen anwendbar ist. Dieses Muster taucht deswegen immer wieder auf, weil es in der Spirale des Goldenen Schnitts begründet ist. (Siehe auch- anderer Artikel auf dieser Website-heilige Geometrie)

Die Fibonacci Sequenz bietet, dem Leben mit der 1 einen Anfang, und gibt Orientierungshilfe. Und wenn man innerhalb der Sequenz eine Zahl mit der vorhergehenden teilt, und das Dividieren fortführt erreicht man recht schnell den Punkt wo man der transzendenten Zahl 1,6180339 sehr nahe kommt.

RECHENBEISPIEL:

1 geteilt durch 1 = 1

2 geteilt durch 1 = 2

3 geteilt durch 2 = 1, 50

5 geteilt durch 3 = 1,66

8 geteilt durch 5 = 1,60

13 geteilt durch 8 = 1,625

21 geteilt durch 13 = 1,615

34 geteilt durch 21 = 1,619

55 geteilt durch 34 = 1,617

89 geteilt durch 55 = 1,6181

Die Quotienten liegen teils über oder unter der transzendenten Zahl 1,6180339… obwohl sie sich ihr jedoch soweit annähern, erreichen sie aber nie ganz. Man kommt ihr irgendwann so nahe, dass eine Differenz kaum nachvollziehbar ist. Und exakt so geht das Leben selbst mit allem um, was keinen Anfang oder Ende hat.

Die Fibonacci Spirale hat zum Gegensatz der logarithmischen Spirale des Goldenen Schnitts, einen echten Anfang, sie nähern sich aber schnell an, und sehen irgendwann ziemlich gleich aus.

DER MENSCHLICHE KÖRPER, SEIN GEIST UND SEINE SEELE BESTEHEN AUS REINER GEOMETRIE

EBENSO DAS UNIVERSUM

Für Blacks Information Space-STEVEN BLACK-am 8.7.2008

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